В Книге абака одна из поставленных проблем дает начало последовательности чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так далее до бесконечности, известной сегодня как последовательность Фибоначчи. (насколько мы это можем увидеть – здесь каждое последующее число является суммой предыдущих)

А проблема была такова:
Сколько пар кроликов, помещенных в загон, может быть произведено за один год из одной пары кроликов, если каждая пара производит еще одну пару каждый месяц, начиная со второго?
В поисках решения, мы находим, что каждой паре, включая первую, необходим месяц для достижения зрелости, но, начав воспроизводство, они производят на свет новую пару каждый месяц. Количество пар остается тем же в начале каждого из двух первых месяцев, то есть,
последовательность – 1, 1. Эта первая пара, наконец, удваивает свое количество во втором месяце, так что в начале третьего месяца у нас уже две пары. Из них старшая пара производит третью пару, так что в начале четвертого месяца последовательность увеличивается до 1, 1, 2, 3. Из этих трех две старшие пары, но не младшая, воспроизводятся так, что последовательность увеличивается до 1, 1, 2, 3, 5, 8 и так далее.

Рис.3-1 показывает семейное дерево Кроликов, разрастающееся с логарифмической прогрессией. Продолжите последовательность в течение нескольких лет и количество станет астрономическим. Через 100 месяцев, например, мы вынуждены будем бороться с 354 224 848 179 261 915 075 парами кроликов. Последовательность Фибоначчи, проистекающая из кроличьей проблемы, обладает множеством интересных свойств и показывает почти постоянное соотношение среди своих компонентов.

The Rabbit Family Tree – Семейное дерево Кроликов
Month – Месяц
Pairs - Пары
Подпись - Через 12 месяцев мистер и миссис Кролик имели бы семью из 144 пар.
Сумма любых чисел, расположенных рядом в последовательности, дает следующее число
последовательности, а именно 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8 и так далее до бесконечности.

Золотая пропорция

После первых нескольких чисел в последовательности, отношение любого числа к следующему старшему равна примерно 0.618 к 1, а к соседнему младшему – приблизительно 1.618 к 1. Чем дальше вдоль последовательности, тем ближе отношение приближается к фи (φ*), которое является иррациональным числом 0.618034… Соотношение между числами, расположенными через одно в последовательности, приблизительно равно 0.382, что является инверсией от 2.618 (1:2.618*). Обратитесь к таблице соотношений всех чисел Фибоначчи от 1 до 144 (рис.3-2).
Фи является единственным числом, которое после сложения с 1 дает свою же инверсию: 0.618+1=1:0.618. Такой альянс аддитивных и мультипликативных свойств порождает следующую последовательность равенств:
0.6182 = 1 - 0.618,
0.6183 = 0.618 - 0.6182,
0.6184 = 0.6182 - 0.6183,
0.6185 = 0.6183 - 0.6184, и т.д.
или, альтернативно:
1.6182 = 1 + 1.618,
1.6183 = 1.618 + 1.6182,
1.6184 = 1.6182 + 1.6183,
1.6185 = 1.6183 + 1.6184, и т.д.
Некоторые формулировки из взаимосвязанных свойств этих четырех соотношений могут быть представлены следующим образом:
1) 1.618 - 0.618 = 1,
2) 1.618 * 0.618 = 1,
3) 1 - 0.618 = 0.382,
4) 0.618 * 0.618 = 0.382,
5) 2.618 - 1.618 = 1,
6) 2.618 * 0.382 = 1,
7) 2.618 * 0.618 = 1.618,
8) 1.618 * 1.618 = 2.618.

Кроме 1 и 2, любое число Фибоначчи, умноженное на 4 и добавленное к некоторому выбранному числу Фибоначчи, дает еще одно число Фибоначчи:
3 * 4 = 12; + 1 = 13,
5 * 4 = 20; + 1 = 21,
8 * 4 = 32; + 2 = 34,
13 * 4 = 52; + 3 = 55,
21 * 4 = 84; + 5 = 89, и т.д.
Так как развивается новая последовательность, третья последовательность начинается с тех же чисел, которые добавлялись к произведению на 4. Это соотношение возможно, потому что коэффициент между числами Фибоначчи, отстоящими друг от друга через две позиции равен 4.236, где 0.236 является и инверсией этого коэффициента, и разностью с числом 4. Это непрерывное рядообразующее свойство отражается и в других соотношениях по этим же причинам.
1.618 (или 0.618) известно как Золотая пропорция или Золотое сечение. Его гармония приятна для глаз и является важным явлением в музыке, искусстве, архитектуре и биологии.
Вильям Хоффер, написал для декабрьского номера 1975 года журнала Smithsonian Magazine: «…пропорция 0.618034 к 1 является математической основой для формы игральных карт и Пантеона, подсолнухов и раковин улиток, греческих ваз и спиральных галактик открытого космоса. Греки многое сделали в своем искусстве и архитектуре по этой пропорции. Они называли это «золотым сечением».
Абсурдные кролики Фибоначчи всплывают в самых неожиданных местах. Эти числа, бесспорно, являются частью мистической естественной гармонии, которая приятно осязается, приятно выглядит и даже приятно звучит. Музыка, например, основана на 8-ми нотной октаве. На фортепьяно это представлено 8 белыми клавишами и 5 черными – всего 13. Не случайно, что музыкальная гармония, которая, как кажется, приносит уху величайшее удовольствие, является мажорным шестизвучием. Нота Е (ми*) звучит как соотношение 0.625 к ноте С (до*). Всего лишь на 0.006966 больше точного Золотого сечения, соотношения мажорного шестизвучия вызывают приятные колебания в улитке внутреннего уха – органа, который как раз имеет формулогарифмической спирали.
Непрерывное нахождение чисел Фибоначчи и золотой спирали в природе точно объясняет, почему пропорция 0.618034 к 1 так привлекательна в искусстве. Человек видит изображение жизни вискусстве, которое основано на золотом сечении.
Природа использует Золотое сечение в своих наиболее сокровенных строительных блоках и в наиболее продвинутых образцах, от таких мелких форм, как атомные структуры, микрокапилляры мозга и молекулы ДНК до таких огромных, как планетарные орбиты и галактики. Оно касается таких разнообразных явлений, как расположение квазикристаллов, планетарных расстояний и периодов обращения, отражения световых лучей от стекла, мозг и нервная система, музыкальная аранжировка и строение растений и животных. Наука быстро доказывает, в природе действительно существует основной закон пропорций. Между прочим, вы удерживаете предмет двумя из пяти ваших отростков (две руки, две ноги и голова*), которые имеют три шарнирно соединенных части (плечо, предплечье и кисть*), пять отростков на концах (пальцы*) с тремя шарнирно соединенными частями (фаланги пальцев*). (Авторы намекают на волновую последовательность 5-3-5-3.*)